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Datenanalyse für Naturwissenschaftler, Mediziner und Ingenieure
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Mario Schneider
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Datenanalyse für Naturwissenschaftler, Mediziner und Ingenieure
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Mario Schneider Oppenau, Deutschland
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ISBN 978-3-662-61865-3
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ISBN 978-3-662-61866-0 (eBook)
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https://doi.org/10.1007/978-3-662-61866-0
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
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© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral.
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Planung/Lektorat: Stephanie Preuss Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany
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Dieses Buch widme ich Felix und Aurelia.
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Vorwort
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Ich habe die Erfahrung gemacht, dass zwar Statistik in vielen wissenschaftlichen Disziplinen Teil des Lehrplans ist, diese jedoch häufig nur theoretisch behandelt wird und nicht anhand von Beispielen aus der wissenschaftlichen Praxis, wo es viel um Datenanalyse geht. Die entsprechenden Kurse werden dann häufig von Mathematikprofessoren gehalten, und dementsprechend ist der Stoff dann auch aufbereitet. Verstehen Sie mich nicht falsch, ich achte Mathematiker sehr, es hat jedoch auch seinen Grund, dass die Mathematik nicht zu den Naturwissenschaften zählt. Falls es dann praktische Übungen im Rahmen der Statistikmodule gibt, müssen sich die Studenten zunächst eine gewisse Zeit in ein mehr oder minder komplexes Softwarepaket einarbeiten, Zeit, die ihnen für das grundlegende Verständnis, wie Daten wissenschaftlich ausgewertet werden können, am Ende fehlt. Spätestens, wenn Sie selbst einmal ein wissenschaftliches Projekt eigenständig bearbeiten sollen, holt Sie schnell die Realität ein. Hier tauchen Fragen auf wie bspw. „Sollte ich meine Daten mit der Modellfunktion A oder B fitten?“ oder „Darf ich den den Wert aus meinen Daten entfernen?“ oder „Welche Faktoren beeinflussen mein Experiment?“ usw. Ich habe in meiner beruflichen Praxis z. T. mit Wissenschaftlern zu tun gehabt, die nicht wussten, was ein Median oder was die Standardabweichung von Daten ist, geschweige denn, wie man diese errechnet. Für deren Berechnung gibt es nämlich mehr als eine Formel, die je nachdem zu stark unterschiedlichen Ergebnissen führen können (später dazu mehr). Vermutlich schrecken viele Wissenschaftler davor zurück, sich mit Datenanalyse zu beschäftigen, da sie denken, ihnen fehle erstens das mathematische Rüstzeug und zweitens Kenntnisse im Umgang mit statistischer Software. Meines Erachtens nach ist es sicherlich nicht verkehrt, ein gewisses mathematisches Vorwissen mitzubringen, aber es reicht in den meisten Fällen das Wissen aus dem Grundkurs Mathematik. Sie müssen für viele Analysen auch kein R-, SPSS- oder Minitab-Profi zu sein, um Ihre Daten analysieren zu können. Vieles können Sie mit Microsoft Excel (oder vergleichbaren Tabellenkalkulationsprogrammen) machen, von beschreibender Statistik bis hin zu Machine Learning. In diesem Buch werden Sie kein einziges Excel-Makro benötigen. Im Gegenteil, ich werden Ihnen zeigen, dass die meisten Berechnungen, sogar die der multivariaten Datenanalyse, mit verhältnismäßig einfachen Bordmitteln funktionieren. Mir ist
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VII
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VIII
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Vorwort
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durchaus bewusst, dass es je nach Problemstellung besser geeignete Softwarelösungen gibt. Ich selbst bin ein großer Fan von R, Octave und MATLAB (The MathWorks). Doch kennen sich die meisten bereits relativ gut mit Excel aus, es ist beinahe auf jedem Bürorechner vorhanden und man erhält direktes Feedback, sobald der an einer Berechnung beteiligte Zellinhalt geändert wird. Dadurch verinnerlicht man die Grundlagen nochmals sehr gut. Hier kann ich aus eigener Erfahrung sprechen, denn mein damaliger Professor für Chemometrie, Dr. Ernst Cleve, hat auch Excel verwendet, um uns die Datenanalyse praktisch näherzubringen. Ihm möchte ich an dieser Stelle für die Durchsicht und die Anmerkungen zum Manuskript, sowie für die Bereitstellung diverser Unterrichtsmaterialien herzlich danken.
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Ich habe das Buch so aufgebaut, dass wir uns im ersten Kapitel zunächst mit den Grundlagen im Umgang mit Microsoft Excel beschäftigen, v. a. damit, wie Sie Zellbezüge richtig setzen und Ihre Berechnungen automatisieren können. Außerdem lernen Sie, wie Sie in Excel mit Vektoren und Matrizen rechnen können, was in den darauffolgenden Kapiteln häufig angewendet wird.
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Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit den Möglichkeiten zur Darstellung von Daten. Im Grunde genommen erhalten Sie dadurch einen kleinen Einblick in die Elemente der explorativen Datenanalyse, wobei ich dieses Wort bewusst nicht in einer der Überschriften verwendet habe. Sie lernen hier v. a., wie Sie bestimmte Daten(-Typen) in welcher Form darstellen können. Hier zeige ich Ihnen außerdem, wie Sie publikationsreife Abbildungen aus Excel heraus erzeugen können.
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Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in der wissenschaftlichen Praxis an der ein oder anderen Stelle auftreten. Dies schließt diejenigen Verteilungen ein, die bei den sogenannten Hypothesentests eine wichtige Rolle spielen, mit denen wir uns ebenso in diesem Kapitel beschäftigen.
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Im vierten Kapitel lernen wir verschiedene Methoden der Datenvorbehandlung kennen. Neben Skalierungs- und Glättungsmethoden beinhaltet diese auch Interpolationsmethoden, die in der Praxis des Öfteren verwendet werden.
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Im fünften Kapitel kommen wir dann zur häufig in der Praxis angewendeten linearen bzw. der nicht-linearen Regression, mit deren Hilfe Sie eine Modellfunktion an Ihre experimentellen Daten anpassen können.
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Im sechsten Kapitel beschäftigen wir uns mit verschiedenen Klassifikationsmethoden, um Muster in multivariaten Daten erkennen zu können. Hierbei gehe ich sowohl auf unüberwachte Methoden wie die Hauptkomponentenanalyse und Clusteranalyse ein, aber auch auf überwachte Methoden wie die des aktiven Lernens mittels künstlicher neuronaler Netze.
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Im siebten Kapitel erfahren Sie dann, wie Sie Versuche mit mehreren Einflussgrößen statistisch sinnvoll planen und umsetzen können und wie Sie die Haupteinflussgrößen Ihrer Experimente bestimmen können.
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Im achten Kapitel finden Sie ausführliche Lösungswege und Hilfen zu den Übungsaufgaben aus den zuvor genannten Kapiteln.
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Vorwort
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IX
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Im neunten Kapitel habe ich u.a. mathematische Grundlagen zusammengefasst, die zum besseren Verständnis der Inhalte der anderen Kapitel beitragen sollen. Außerdem finden Sie hier eine Sammlung statistischer Tabellen, die zum Lösen der Beispiele und der Übungsaufgaben benötigt werden.
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Die Lösungen zu den Übungen finden Sie im nächsten Kapitel. Datenanalytische Konzepte lernt man meiner Erfahrung nach am besten, wenn man sie anhand von Übungen, oder noch besser, anhand von eigenen Problemstellungen (aus der Praxis) anwendet, daher kann ich Ihnen die praxisnahen Übungsaufgaben nur ans Herz legen. Ebenso wichtig wie die Übungen sind die Videos, die zu diesem Buch gehören. Hier werden Sie anhand von Fallbeispielen lernen, wie man Daten in Excel analysieren kann. In den Videos gehe ich komplette Analysen mit Ihnen von Anfang bis Ende durch. Ein Video kann durch Scannen des jeweiligen QR-Codes mittels QR-Code-Scanner-App aufgerufen werden. Sie werden hierbei auf eine YouTube-Website weitergeleitet, auf der Sie das jeweilige Video anschauen können. Zusätzlich stelle ich Ihnen die Videos auf meiner Website unter http://dataanalysistools.de/videos-to-the-book/ zur Verfügung, auf die Sie, nach Eingabe des Passworts DaNiM (das steht für Datenanalyse für Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mediziner), freien Zugriff haben. Wenn Sie Fragen zu Inhalten im Buch oder in den Videos haben, sparen Sie sich die Zeit und recherchieren Sie nicht stundenlang im Internet. Gehen Sie bitte den kurzen Weg und kontaktieren Sie mich einfach per Mail (contact@dataanalysistools.de). Ich werde versuchen, Ihnen möglichst schnell zu antworten. Nutzen Sie die Kontaktmöglichkeit bitte auch für Feedback, denn so weiß ich, was ich in Zukunft besser machen könnte. Sie können mich auch gerne über meine Website http://www.dataanalysistools.de kontaktieren. Dort führe ich einen Blog, lade hier regelmäßig Videos zum Thema Datenanalyse hoch und stelle kleine Software-Tools kostenfrei zur Verfügung. Ich wünsche Ihnen viel Spaß mit dem Buch.
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Oppenau 30. Mai 2020
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Mario Schneider
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Inhaltsverzeichnis
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1 Streifzug durch Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Tabellenkalkulation mit Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Rechnen mit Vektoren und Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Der Solver – ein starkes Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Numerisches Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Numerische Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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2 Darstellung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Diagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Grafische Darstellung mathematischer Funktionen. . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Streudiagramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Box-Whisker-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Histogramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.5 Kumulative Häufigkeitsverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.6 Violin-Plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.7 Fehlerbalken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.8 Darstellung dreidimensionaler Daten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.9 Publikationsreife Abbildungen in Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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3 Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. . . . . . . . . . . . . 47 3.1 Was ist Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1 Binomialverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Poissonverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Gauß’sche Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.4 Logarithmische Normalverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.5 χ2-Verteilung – und die Gammafunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.6 Student-t-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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XI
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XII
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Inhaltsverzeichnis
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3.2.7 F-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.8 Maßzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Erzeugung von Zufallszahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Hypothesentests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.1 Parametrische Tests – ANOVA & Co.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.2 Nichtparametrische Hypothesentests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4.3 Das Problem der multiplen Vergleiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
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4 Datenvorbehandlung und Signalwertanalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1 Datenskalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1.1 Zentrierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1.2 Bereichsskalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.1.3 Standardisierung/Autoskalierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.1.4 Vektornormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.2 Glätten von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2.1 Gleitender Mittelwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2.2 Medianglättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.3 Savitzky-Golay-Glättung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.2.4 Glättung mit Gauß’schen Gewichten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3 Konvolution und Dekonvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4 Korrelation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5 Interpolationsmethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.5.1 Lineare Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.5.2 Kubische Spline-Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.6 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
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5 Lineare und nicht-lineare Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1 Lineare Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.1 Lineare Regression in analytischer Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.2 Lineare Regression in Matrixform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2 Nicht-lineare Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2.1 Gradienten-basierte Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.2 Simplex-Optimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.2.3 Genetische Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3 Regression mit Replikaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.4 Globale Regression mit geteilten Parametern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.5 Gewichtete Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.6 Robuste Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
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Inhaltsverzeichnis
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XIII
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5.7 Beurteilung von Regressionsergebnissen/-analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.7.1 Gütemaße der Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.7.2 Vergleich von Fitmodellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
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Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
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6 Multivariate Datenanalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.1 Multivariate lineare Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2 Methoden der unüberwachten Klassifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2.1 Hauptkomponentenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.2.2 Clusteranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.3 Methoden der überwachten Klassifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.3.1 k-nächste-Nachbarn-Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.3.2 Bayes’sche Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.3.3 Support Vector Machine-Klassifizierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3.4 Klassifizierung mittels Entscheidungsbäumen. . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.3.5 Klassifizierung mittels künstlicher neuronaler Netze . . . . . . . . . . . 241 6.3.6 Klassifikationsfehlerrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
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7 Statistische Versuchsplanung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.1 Versuchsplan 1. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.1.1 Vollfaktorieller Versuchsplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.1.2 Teilfaktorielle Versuchspläne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 7.2 Versuchsplan 2. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.3 Zentral zusammengesetzter Versuchsplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4 Box-Behnken-Versuchsplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.5 Allgemeine Hinweise zu Versuchsplänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
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8 Lösungen zu den Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.1 Lösungen zu Kap. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.2 Lösungen zu Kap. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.3 Lösungen zu Kap. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.4 Lösungen zu Kap. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.5 Lösungen zu Kap. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.6 Lösungen zu Kap. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.7 Lösungen zu Kap. 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
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9 Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.1 Ein klein wenig lineare Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.1.1 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.1.2 Rechnen mit Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . 316
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XIV
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Inhaltsverzeichnis
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9.2 Lagrange’sches Multiplikationsverfahren – Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
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9.3 Mehr zur Fehlerfortpflanzung – für mathematisch Versierte. . . . . . . . . . . . 320 9.4 Statistische Tabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.5 Software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
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Stichwortverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
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